0 le x le frac{pi}{2} માટે,int_{0}^{sin^{2}x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = \int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$.લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$x$ ન

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = \int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$.લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$f'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^{2}x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{2}x) + \cos^{-1}(\sqrt{\cos^{2}x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{2}x)$$f'(x) = x \cdot (2 \sin x \cos x) + (\frac{\pi}{2} - x) \cdot (-2 \cos x \sin x)$$f'(x) = x \sin(2x) - (\frac{\pi}{2} - x) \sin(2x) = (2x - \frac{\pi}{2}) \sin(2x)$.હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ માટે $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:$f(\frac{\pi}{4}) = \int_{0}^{1/2} (\sin^{-1}(\sqrt{t}) + \cos^{-1}(\sqrt{t})) \, dt$આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(\sqrt{t}) + \cos^{-1}(\sqrt{t}) = \frac{\pi}{2}$:$f(\frac{\pi}{4}) = \int_{0}^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_{0}^{1/2} = \frac{\pi}{4}$.

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,$\int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $n$ કોઈ પૂર્ણાંક હોય,તો $\int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx = $

$\int\limits_0^\pi {{e^{{{\cos }^4}x}}} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx, (n \in I)$ ની કિંમત શોધો.

જો $I_1 = \int_0^{\pi / 4} \sin^2 x \, dx$ અને $I_2 = \int_0^{\pi / 4} \cos^2 x \, dx$ હોય, તો,

સંકલન $\int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2}$ નું મૂલ્ય છે

જો $\int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x=k$ હોય,તો $\left(\frac{2 k}{\pi}+1\right)=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module